Is the word nascimento the same in Brazilian and European Portuguese?

Yes

The word "nascimento" is identical in meaning, spelling, and grammar in both Brazilian and Continental Portuguese. The only difference is in pronunciation. In Brazilian Portuguese, vowels are typically more open and clearly articulated, creating a more melodic, syllable-timed rhythm. In Continental Portuguese, unstressed vowels undergo significant reduction; for example, the "i" in "nascimento" is much shorter and more closed, nearly disappearing, which contributes to a more stress-timed rhythm.

Brazilian Portuguese Examples

1. O nascimento do bebê foi muito tranquilo. (The baby's birth was very peaceful.)
2. Ela está ansiosa pelo nascimento do seu primeiro filho. (She is anxious for the birth of her first son.)
3. Precisamos registrar o nascimento da criança no cartório. (We need to register the child's birth at the registry office.)
4. O nascimento de uma nova ideia pode mudar tudo. (The birth of a new idea can change everything.)
5. O nascimento dessa empresa foi um grande desafio. (The birth of this company was a great challenge.)

Continental Portuguese Examples

1. O nascimento do bebé foi muito tranquilo. (The baby's birth was very peaceful.)
2. Ela está ansiosa pelo nascimento do seu primeiro filho. (She is anxious for the birth of her first son.)
3. É necessário registar o nascimento da criança no registo civil. (It is necessary to register the child's birth at the civil registry.)
4. O nascimento de uma nova ideia pode mudar tudo. (The birth of a new idea can change everything.)
5. O nascimento desta empresa foi um grande desafio. (The birth of this company was a great challenge.)