Is the word mesinha the same in Brazilian and European Portuguese?

Yes

The meaning, spelling, and grammar of "mesinha" are identical in both Brazilian and Continental Portuguese. The only difference lies in pronunciation. In Brazilian Portuguese, the vowels are generally more open and clearly articulated. In Continental Portuguese, unstressed vowels (like the "i" in "mesinha") tend to be more closed, reduced, or even nearly silent, resulting in a more "clipped" sound.

Brazilian Portuguese Examples

1. Coloque o controle remoto na mesinha. (Put the remote control on the little table.)
2. Essa mesinha de centro é muito bonita. (This coffee table is very beautiful.)
3. Eu comprei uma mesinha para o meu quarto. (I bought a small table for my room.)
4. Tem um copo de água em cima da mesinha. (There is a glass of water on top of the little table.)
5. A mesinha está um pouco instável. (The little table is a bit unstable.)

Continental Portuguese Examples

1. Põe o comando na mesinha. (Put the remote control on the little table.)
2. Esta mesinha de centro é muito bonita. (This coffee table is very beautiful.)
3. Comprei uma mesinha para o meu quarto. (I bought a small table for my room.)
4. Há um copo de água em cima da mesinha. (There is a glass of water on top of the little table.)
5. A mesinha está um pouco instável. (The little table is a bit unstable.)