Is the word mensagem the same in Brazilian and European Portuguese?

Yes

The word "mensagem" is spelled and defined identically in both Brazilian and Continental Portuguese. The only differences are phonetic. In Brazilian Portuguese, the nasalization of the "en" is usually more pronounced and the vowels tend to be more "open." In Continental Portuguese, there is a strong tendency toward vowel reduction, meaning unstressed vowels (such as the "e" in the second syllable) are often shortened or nearly swallowed, making the word sound more "closed" or clipped.

Brazilian Portuguese Examples

1. Eu te mando uma mensagem mais tarde. (I will send you a message later.)
2. Você viu a mensagem que eu enviei? (Did you see the message I sent?)
3. Não entendi sua mensagem. (I didn't understand your message.)
4. Ele esqueceu de responder a mensagem. (He forgot to reply to the message.)
5. Me manda uma mensagem quando chegar. (Send me a message when you arrive.)

Continental Portuguese Examples

1. Eu envio-te uma mensagem mais tarde. (I will send you a message later.)
2. Viste a mensagem que eu enviei? (Did you see the message I sent?)
3. Não percebi a tua mensagem. (I didn't understand your message.)
4. Ele esqueceu-se de responder à mensagem. (He forgot to reply to the message.)
5. Envia-me uma mensagem quando chegares. (Send me a message when you arrive.)