Is the word melhorando the same in Brazilian and European Portuguese?

No.

While the spelling and the core meaning of the word are identical in both dialects, there is a significant difference in typical usage regarding how the continuous aspect (actions happening right now) is expressed.

In Brazilian Portuguese, the gerund form (melhorando) is the standard way to express an ongoing action. In Continental Portuguese, the standard way to express the same ongoing action is by using the preposition a followed by the infinitive (a melhorar). While a Portuguese person understands "melhorando," it sounds distinctly Brazilian and is rarely used in everyday speech to describe an ongoing process.

Brazilian Portuguese Examples:

1. O meu português está melhorando. (My Portuguese is improving.)
2. Ele está melhorando muito depois da cirurgia. (He is improving a lot after the surgery.)
3. A situação no trabalho está melhorando. (The situation at work is improving.)
4. Estamos melhorando o nosso serviço ao cliente. (We are improving our customer service.)
5. O tempo está melhorando finalmente. (The weather is finally improving.)

Continental Portuguese Examples:

1. O meu português está a melhorar. (My Portuguese is improving.)
2. Ele está a melhorar muito depois da cirurgia. (He is improving a lot after the surgery.)
3. A situação no trabalho está a melhorar. (The situation at work is improving.)
4. Estamos a melhorar o nosso serviço ao cliente. (We are improving our customer service.)
5. O tempo está a melhorar finalmente. (The weather is finally improving.)