Is the word lazer the same in Brazilian and European Portuguese?

Yes.

The spelling, meaning, and grammatical category of the word "lazer" (a noun meaning "leisure") are identical in both Brazilian and Continental Portuguese. The only difference lies in pronunciation (phonetics). In most regions of Brazil, the "r" at the end of the word may be pronounced as a retroflex "r" or even an aspirated sound, whereas in Portugal, the "r" is typically a soft alveolar tap.

Brazilian Portuguese Examples

1. Eu gosto de usar meu tempo de lazer para ler. (I like to use my leisure time to read.)
2. O shopping é um ótimo lugar de lazer para as crianças. (The mall is a great leisure place for children.)
3. Não tenho muito lazer durante a semana por causa do trabalho. (I don't have much leisure time during the week because of work.)
4. Precisamos de mais áreas de lazer na nossa cidade. (We need more leisure areas in our city.)
5. No meu tempo de lazer, eu adoro jogar videogame. (In my leisure time, I love to play video games.)

Continental Portuguese Examples

1. Eu gosto de aproveitar o meu tempo de lazer a ler. (I like to enjoy my leisure time reading.)
2. O centro comercial é um excelente sítio de lazer. (The shopping center is an excellent leisure place.)
3. Não tenho muito tempo de lazer durante a semana devido ao trabalho. (I don't have much leisure time during the week due to work.)
4. É necessário haver mais zonas de lazer na nossa cidade. (It is necessary to have more leisure zones in our city.)
5. No meu tempo de lazer, adoro jogar videojogos. (In my leisure time, I love to play video games.)