Is the word fazer the same in Brazilian and European Portuguese?

Yes

The word "fazer" is identical in meaning, spelling, and conjugation in both Brazilian and Continental Portuguese. The only difference lies in pronunciation. In Brazil, the pronunciation is generally more open, and vowels are clearly articulated. In Portugal, the pronunciation is more "closed" and stress-timed; unstressed vowels are often reduced or almost silent, which can make the word sound much shorter or more clipped to a Brazilian ear.

Brazilian Portuguese

1. Eu vou fazer o meu bolo de chocolate. (I am going to make my chocolate cake.)
2. Você pode me fazer um favor? (Can you do me a favor?)
3. Está fazendo muito calor hoje. (It is very hot today.)
4. Eu preciso fazer minha lição de casa. (I need to do my homework.)
5. O que você está fazendo agora? (What are you doing now?)

Continental Portuguese

1. Eu vou fazer o meu bolo de chocolate. (I am going to make my chocolate cake.)
2. Podes fazer-me um favor? (Can you do me a favor?)
3. Está a fazer muito calor hoje. (It is very hot today.)
4. Eu preciso fazer os meus trabalhos de casa. (I need to do my homework.)
5. O que é que estás a fazer agora? (What are you doing now?)