Is the word fazendo the same in Brazilian and European Portuguese?

No

The difference is not in the meaning of the word itself, but in the grammatical construction used to express ongoing actions. In Brazilian Portuguese, the gerund (fazendo) is the standard way to express an action currently in progress. In Continental Portuguese, while the gerund is technically correct, it is much more natural and common to use the construction a + infinitive (a fazer).

Brazilian Portuguese (Natural Usage)

1. Eu estou fazendo o jantar agora. (I am making dinner now.)
2. O que você está fazendo no final de semana? (What are you doing on the weekend?)
3. Eles estão fazendo muito barulho no quarto. (They are making a lot of noise in the bedroom.)
4. Ela está fazendo o dever de casa. (She is doing her homework.)
5. Nós estamos fazendo uma viagem para a praia. (We are taking a trip to the beach.)

Continental Portuguese (Natural Usage)

1. Eu estou a fazer o jantar agora. (I am making dinner now.)
2. O que é que estás a fazer no fim de semana? (What are you doing on the weekend?)
3. Eles estão a fazer muito barulho no quarto. (They are making a lot of noise in the bedroom.)
4. Ela está a fazer os trabalhos de casa. (She is doing her homework.)
5. Nós estamos a fazer uma viagem para a praia. (We are taking a trip to the beach.)