Is the word facilmente the same in Brazilian and European Portuguese?

Yes

The meaning, grammar, and spelling of "facilmente" are identical in both Brazilian and Continental Portuguese. The only difference is in pronunciation. In Brazilian Portuguese, the final "e" is usually pronounced clearly as an "ee" sound (making it sound like fa-sil-MEN-chee), and the vowels tend to be more open. In Continental Portuguese, the final "e" is often reduced or nearly silent, and the rhythm of the word is more clipped and closed.

Brazilian Portuguese Examples

1. Eu consigo fazer isso facilmente. (I can do this easily.)
2. Você aprende português facilmente se praticar todo dia. (You learn Portuguese easily if you practice every day.)
3. O time venceu o jogo facilmente. (The team won the game easily.)
4. Você pode encontrar o caminho facilmente. (You can find the way easily.)
5. Ela resolveu o problema facilmente. (She solved the problem easily.)

Continental Portuguese Examples

1. Consegues fazer isto facilmente. (You can do this easily.)
2. É possível aprender português facilmente com prática. (It is possible to learn Portuguese easily with practice.)
3. A equipa venceu o jogo facilmente. (The team won the game easily.)
4. Encontras o caminho facilmente. (You find the way easily.)
5. Ela resolveu o problema facilmente. (She solved the problem easily.)