Is the word alérgico the same in Brazilian and European Portuguese?

Yes

The spelling, meaning, and grammatical function of "alérgico" are identical in both Brazilian and Continental Portuguese. The only difference is in pronunciation: Brazilian Portuguese tends to use more open vowels, whereas Continental Portuguese often features more closed or reduced vowels.

Brazilian Portuguese Examples:

1. Eu sou alérgico a amendoim. (I am allergic to peanuts.)
2. Ele ficou mal porque é alérgico a poeira. (He felt bad because he is allergic to dust.)
3. Você é alérgico a algum remédio? (Are you allergic to any medicine?)
4. Cuidado, eu sou alérgico a camarão. (Careful, I am allergic to shrimp.)
5. Ele tem um cachorro, mas eu sou alérgico a pelos. (He has a dog, but I am allergic to fur.)

Continental Portuguese Examples:

1. Eu sou alérgico a amendoim. (I am allergic to peanuts.)
2. Ele sentiu-se mal porque é alérgico ao pó. (He felt unwell because he is allergic to the dust.)
3. Sabes se este medicamento é bom para quem é alérgico a dipirona? (Do you know if this medication is good for those allergic to dipyrone?)
4. Tem cuidado, eu sou alérgico a camarão. (Be careful, I am allergic to shrimp.)
5. O gato fez-me espirrar porque sou alérgico a pelos. (The cat made me sneeze because I am allergic to fur.)